4 dic. 2007

El Infinito y el Gran Hotel

De todos los conceptos matemáticos y científicos, sin duda el más difícil de comprender es el concepto del INFINITO. Esa designación que damos a todo lo que es más grande que lo más grande y más incontable que lo que no se puede contar. Es el tipo de cosas que más nos cuesta comprender conforme vamos creciendo y transformándonos en esos seres opacos y no-pensantes conocidos como "adultos".

Primero que nada, hay que decir que el Infinito carece de sentido. Imagínense, carecer de sentido... ¡pobre Infinito! Ni toda su infinita inmensidad es capaz de darle un verdadero sentido a su existencia. Y es, sobre todo lo demás, contradictorio. Porque así como carece de sentido, es tremendamente útil. Por ejemplo, nos puede decir cuando estamos resolviendo un problema de cálculo de manera errónea o para darnos absoluta libertad de movernos por cualquier punto que se nos antoje (-∞, ∞).

Y es un número muy viejo. Ya en el año 400 AC se mencionan tres tipo diferentes de números en el texto hindú Surya Prajnapti: los numerables, los innumerables y los infinitos.

Para darles una idea de lo incomprendido que puede llegar a ser el Infinito, les contaré sobre un extraño hotel que creo que a todos nos gustaría conocer. El Gran Hotel.

Imaginemos primero un hotel con 100 cuartos. Este se llama El Pequeño Hotel. Como se encuentra en una playa popular en plena Semana Santa, el hotel tiene sus 100 cuartos llenos. Esto significa que, desafortunadamente, cuando alguien quiera llegar a ese hotel no podrá hospedarse y tendrá que irse a buscar otro hotel. Y lo más seguro es que vaya al Gran Hotel. ¿Por qué? Sencillo, los gerentes del Gran Hotel son mucho más vivos que los del Pequeño Hotel, e hicieron lo que cualquier hotelero con un mínimo de chispa emprendedora haría: construyeron un hotel con un número infinito de cuartos. Esto es, ∞ cuartos. Sin embargo, estos ∞ cuartos están todos ocupados por otros ∞ turistas ávidos de emoción playera. Esto podría decepcionar a cualquier persona que llegara buscando un cuarto donde llegar a descansar después de un día de playa y una noche de disco. Pero no hay razón para estar decepcionados, recordemos que este cuarto tiene ni más ni menos que ∞ cuartos. Lo que los gerentes del hotel es organizar una mudanza para todos los turistas que se encuentran ocupando los ∞ cuartos. Así, el ocupante del primer cuarto se pasa al segundo, el del segundo al tercero, el del tercero al cuarto, y así sucesiva e infinitamente. Entonces, el turista cansado que acaba de llegar tendrá el cuarto número uno para su solaz descanso. Incluso, si el del primero se mueve al segundo, el del segundo al cuarto, el del tercero al sexto y así sucesivamente, todos los cuartos con número impar estarían libres por si de pronto llegara una oleada de ∞ turistas a la vez (recordemos que en ∞ hay ∞ números nones).

Esto, queridos bloguilectores, se conoce como La Paradoja del Gran Hotel de Hilbert, por el matemático que lo planteó por primera vez, David Hilbert.

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